jueves, 13 de octubre de 2016

Demostración matemática. Ejemplo de método axiomático deductivo y de teoría de la verdad como coherencia.



Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x2 + y2 = r2. La figura que hemos obtenido es la siguiente:





Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Por tanto el área de ese cuadrado es (x + y)2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r2. Y el área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:
(x + y)2 = r2 + 4· xy/2 (1)
Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sustituímos en (1):
x2 + 2xy + y2 = r2 + 2xy
Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniedo así el resultado buscado:
x2 + y2 = r2

EJEMPLO: EL MÉTODO CIENTÍFICO Y SUS ETAPAS



El método científico: sus etapas



Ejemplo de aplicación del método científico:  “El crecimiento de las plantas”
  • Observación del fenómeno
    Queremos estudiar el crecimiento de plantas de una misma especie desde que la semilla ha germinado. Su crecimiento dependerá de varios factores: humedad, tipo de tierra, agua de riego, fertilizante, temperatura, orientación al sol, etc.
  • Cuestionamiento
    ¿Por qué unas plantas crecen más rápidamente que otras?
  • Formulación de hipótesis
    Se establecen posibles causas que expliquen el fenómeno estudiado, que después habrá que confirmar experimentalmente. Ejemplo: unas plantas crecen más que otras cuando están en un suelo más rico en nutrientes (fertilizante).
  • Experimentación
    Se monta un dispositivo experimental que pueda probar nuestra hipótesis.
    Si hay otros factores que puedan influir en el crecimiento de las plantas (otras variables), se controlan todos y se aplican de forma idéntica para todas las plantas que se van a estudiar (luz, humedad, tipo de tierra, agua de riego, etc.). Variamos únicamente el factor que queremos comprobar: los nutrientes, es decir, utilizamos semanalmente más fertilizante para unas plantas que para otras y en algunas no usamos nada. Podemos utilizar fertilizante líquido disolviendo las distintas dosis a emplear en la misma cantidad de agua. Anotamos la cantidad de fertilizante que le echamos a cada planta.
  • Elaboración de conclusiones y teorías
    Al cabo de un mes veremos que las plantas que más han crecido, siendo idénticas las demás condiciones, han sido las que han dispuesto de más nutrientes (fertilizante).

    Podemos reflejar los resultados obtenidos en tablas de datos y gráficas. En el eje horizontal de la gráfica (abscisas) se representa la cantidad de fertilizante usado semanalmente, en mililitros o centímetros cúbicos, y en el eje vertical (ordenadas) se representa el crecimiento de la planta semanalmente en milímetros (longitud).

    Conclusión: el crecimiento de las plantas depende de la cantidad de nutrientes de los que disponen, de tal manera que las plantas que más se desarrollan son las que más aporte nutritivo tienen.
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Los conocimientos que la humanidad posee actualmente sobre las diversas ciencias de la naturaleza se deben, sobre todo, al trabajo de investigación de los científicos. El procedimiento que éstos emplean en su trabajo es lo que se llamará MÉTODO CIENTÍFICO. El método científico consta de las siguientes fases: Observación, Formulación de hipótesis, Experimentación, conclusiones.  

Observación: examinar atentamente los hechos y fenómenos que tienen lugar en la naturaleza y que pueden ser percibidos por los sentidos.

 Ejemplo: Queremos estudiar si la velocidad de caída libre de los cuerpos depende de su masa. Para ello, dejamos caer, desde una misma altura una tiza y una hoja de papel. Observamos que la tiza llega mucho antes que el papel al suelo. Si medimos la masa de la tiza, vemos que ésta es mayor que la masa del papel.

Formulación de hipótesis: consiste en elaborar una explicación provisional de los hechos observados y de sus posibles causas.

  Ejemplo: Podemos formular, como hipótesis, el siguiente razonamiento: "Cae con mayor velocidad el cuerpo que posee mayor masa".

 Experimentación: consiste en reproducir y observar varias veces el hecho o fenómeno que se quiere estudiar, modificando las circunstancias que se consideren convenientes.

Ejemplo: Si lanzamos la tiza junto a una hoja de papel arrugada, vemos que llegan al suelo prácticamente al mismo tiempo. Si seguimos esta línea de investigación y lanzamos una hoja de papel arrugada y otra hoja sin arrugar desde la misma altura, vemos que la hoja arrugada llega mucho antes al suelo.

Emisión de conclusiones: la emisión de conclusiones consiste en la interpretación de los hechos observados de acuerdo con los datos experimentales.A veces se repiten ciertas pautas en todos los hechos y fenómenos observados. En este caso puede enunciarse una ley. Una ley científica es la formulación de las regularidades observadas en un hecho o fenómeno natural. Por lo general, se expresa matemáticamente. Las leyes científicas se integran en teorías. Una teoría científica es una explicación global de una serie de observaciones y leyes interrelacionadas.
 
 Ejemplo: A la vista de los resultados experimentales, se puede concluir que no es la masa la que determina que un objeto caiga antes que otro en la Tierra; más bien, será la forma del objeto la determinante. Como comprobación de nuestro resultado deducimos que nuestra hipótesis inicial era incorrecta. Tenemos, por ejemplo, el caso de un paracaidista: su masa es la misma con el paracaídas abierto y sin abrir; sin embargo, cae mucho más rápido si el paracaídas se encuentra cerrado.